几何变换包括镜面反映、滑移、转动和缩放等变换。在考虑空间格子的几何变换时会涉及到镜面反映、滑移和转动，缩放对称性则鲜有提及。伽利略早已注意到，一般几何结构中不存在缩放对称性。可是， 面对着共有17种不同空间群的二维格子和230种不同空间群的三维格子，人们会问在这些几何结构里真的不存在缩放对称性吗？正方格子沿两个垂直方向以相同因子缩放会保持为正方格子，或者三角格子沿某个<01>方向三倍放大后还是三角格子（这个缩放只能进行一次），这些是平庸的缩放变换。 人们更感兴趣的是单向缩放对称性：沿某个方向，以某个因子缩放，几何结构会保持其特性不变，并且这样的缩放可以无限进行下去。如何去找寻几何点阵的单向缩放对称性呢？
　　中国科学院物理研究所/北京凝聚态物理国家实验室（筹）SF3组的曹则贤研究员和廖龙光博士（已毕业）长期研究准周期结构的几何问题。 2013年他们找到了12次准周期结构的单一团簇覆盖，推翻了12次准周期结构不存在单一团簇覆盖的结论（J. Phys. A: Math. Theor. 46，245205 (2013)）。最近，他们研究了函数y = arcsin(sin(2πnx))（其中整数n是变量, x 是参数）的性质，发现当参数x取白银分割数\(\lambda=\sqrt{2}-1\)（白金分割数\(\mu=2-\sqrt{3}\)）时，取恰当的水平轴与垂直轴尺度比例，函数图像是近似的8次 （12次）准周期结构。实际上，它是两套近似的正方格子 （三角格子）套构而成的Moiré花样。取其中的一套近似正方格子（三角格子）加以研究， 发现当水平轴与垂直轴的比例趋于零时，近似的正方格子（三角格子）变成了严格的正方格子（三角格子）。此时， 水平轴就提供了一个正方格子（三角格子）具有缩放对称性的方向。由此得出的结论是，正方格子（三角格子）在过任一格点，沿和邻边成22.5°（15°）的方向上，具有缩放对称性，缩放因子为\(3-2\sqrt{2}\)（\(7-4\sqrt{3}\)）。 相关内容发表在Scientific Reports  2014 上。
　　在一特定方向上正方格子（三角格子）缩放对称性的发现，打破了几何点阵单向缩放对称性研究的坚冰。自然我们接着会问，是否还有更多的单向缩放对称性存在？曹则贤研究员发现，将正方格子（三角格子）用Gauss (Eisenstein)整数加以表示，则缩放对称性的研究变为证明Gauss (Eisenstein)整数所代表的矢量经缩放变换后保持Gauss (Eisenstein)整数的特性，由此发现正方格子存在无穷多的单向缩放对称性：过任一格点，沿和邻边成θ角（\(tan\theta=\left(\sqrt{k^2+4}-k\right)/2\)， k=1, 2, 3….）的方向上，正方格子具有缩放对称性，缩放因子为tan²θ。 中， k=2 对应白银分割数的情形；k=1对应的缩放对称性的方向由\(tan\theta=\left(\sqrt{5}-1\right)/2\)决定，而这个数是神奇的黄金分割数。相关文章在审稿中。
　　相当多的物理模型是建立在三角格子和正方格子上的，一些物理问题本身也具有三角格子和正方格子的对称性。三角格子和正方格子单向缩放对称性的发现，也许对相关物理问题意味着什么，希望能够引起理论物理同行们的注意。考虑到黄金分割数出现在一维Ising模型的激发态质量比中，Hard-Hexagonal 模型的Critical fugacity中， 以及与Bell不等式之Hardy验证有关的最大Hardy 概率中， 则建立在三角格子和正方格子上的物理问题之某个特定物理量与白银分割数、白金分割数或者黄金分割数挂钩，应该不是令人惊讶的事情。

文章链接

缩放对称性：
12次准周期的覆盖：http://iopscience.iop.org/1751-8121/46/24/245205/article

附图

图1 函数y=sin(2πμn) (a) 和 y=arcsin(2πμn) (b)的图像,\(\mu=2-\sqrt{3}\), 变量 n 为正整数

图2 函数y=arcsin(2πμn),\(\mu=2-\sqrt{3}\), 之一支的图像，为近似的三角格子； (b) 为（a）中的格子沿水平方向收缩 ~\(7-4\sqrt{3}\)倍后的情景.

图3 函数y=sin(2πλn) (a) 和y=arcsin(2πλn) (b)的图像,\(\lambda=\sqrt{2}-1\), 变量 n 为正整数

图4 函数y=arcsin(2πλn),\(\lambda=\sqrt{2}-1\), 之一支的图像，为近似的正方格子； (b) 为（a）中的格子沿水平方向收缩 ~\(3-2\sqrt{2}\)倍后的情景.